薛定谔波动方程的推导与解释mabetx官网

内容

薛定谔方程是什么

的薛定谔方程(也称为薛定谔波动方程)是一个偏微分方程，它通过波函数来描述量子力学系统的动力学。这些系统的轨迹、定位和能量可以通过解薛定谔方程得到。

亚原子粒子的所有信息都编码在波函数中。波函数将满足并可以用薛定谔方程求解。薛定谔方程是本科生物理学中引入的基本公理之一。它也越来越普遍地发现薛定谔方程被介绍在大学电子工程教学大纲，因为它是适用的半导体。

不幸的是，在这两种情况下，它都只是作为一个公设陈述，从未以任何有意义的方式推导出来。这是相当不令人满意的，因为几乎所有的其他教学在本科量子物理是建立在这个基础上。在这篇文章中，我们将从头开始推导这个方程，我将尽我所能展示所采取的每一步。

有趣的是，我们将要提出的论点和薛定谔自己的观点是一样的，所以你可以看到一个巨人在他的时代所做出的想法。提醒一下，这是三维(对于非相对论粒子)的时变薛定谔方程的所有美丽之处:

量子物理与波

每个人都喜欢把经典物理学带进口袋——但它在相当长的一段时间里为我们服务得很好(想想牛顿力学、麦克斯韦方程和狭义相对论)。

然而，正如我们之前的文章所显示的那样，世纪之交的实验结果与当时已知的物理学相比并没有太大的变化。我们关于双缝实验从某种程度上说，光电效应是实验结果，与已知的对时间的理解不太吻合。

但是为什么呢?简单地说，在经典物理学中存在两个实体，粒子和波。这两个实体的特征可以描述如下:

粒子:具有质量的能量和动量的局域束 $米$ 。

波:扰动随时间在太空旅行中传播。它们可以用波函数来描述 $vec {\ psi (\ r}, t)$ 用来描述穿越时空的波。

这给我们带来了在我们的光电发射篇文章。我们发现电子显示这两个这些属性。这与已知的对时间的理解完全矛盾，因为这两个实体被认为是相互排斥的。

疯狂对吧?大约在这个时候，一些真正有影响力的物理学家开始意识到知识上有一个缺口，当路易·德·布罗意将动量(粒子)和波长(波)联系起来时，一个重大突破出现了

$begin{equation*} p = h/\lambda。结束\{方程*}$

另外,从光电发射我们知道光子的能量吸收和发射(仍然不确定是粒子还是波)有能量是由:

$\begin{equation*} = hf = \hbar \omega \end{equation*}$

在哪里 $\百巴= h / 2 \π$ 和 $\ω= 2π\ f$ 。我们现在处在薛定谔在推导出他著名的方程之前的同一阶段。但是我们从哪里开始呢?我们知道电子和光子表现出波状和粒子状的行为。从一个所有波都服从的普遍方程开始，然后在上面引入粒子物理学来看看是否有结果，这并没有什么错。

如何推导波动方程

干扰 $vec {\ psi (\ r}, t)$ 服从波动方程。记住，电子表现出波状行为，并带有电磁电荷。因此，现在我们只看电磁场。在这种情况下，麦克斯韦方程组就适用了，而且它们都是如此辉煌:

${对齐*}\微分算符\ \开始* vec {\ E } &= - \ 压裂{\部分{\ vec {B}}}{\部分{t}} \ \ \微分算符\ vec {B} & = - * \ \ mu_0 \离开vec {J} + (\ \ epsilon_0 \压裂{\部分{\ vec {E}}}{\部分{t}} \) \ \ \微分算符\ cdot vec {E} & = \ \压裂{\ρ}{\ epsilon_0} \ \ \微分算符\ cdot vec {B} & = 0 \ \{对齐*}结束$

在哪里 $c$ 是真空中的光速， $vec {E} \$ 电场是和吗 $vec {B} \$ 是磁场。第一个方程是发电机、电感器、变压器的基础，是法拉第定律的体现。

同时，其中一个暗示来自 $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ 不存在磁单极子理解这些方程的推导和它们背后的物理意义有助于一个全面的工程师。现在，我们通过对方程4施加旋度，推导出任何电磁波必须服从的方程:

${对齐*}\微分算符\ \开始* vec {\ E } &= - \ 压裂{\部分{\ vec {B}}}{\部分{t}} \ \ \意味着\微分算符(\ \倍vec{微分算符\ * \ E }) &= - \ 压裂{\部分{(vec {B} \ \微分算符\倍)}}{\部分{t}} \ \ \意味着\微分算符\ * (vec {E} \ \微分算符\倍)& = - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}}{对齐*}\结束$

现在我们可以利用一个非常熟悉(并且很容易证明)的向量标识: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ 在哪里 $T$ 是某个占位符向量。现在应用我们的小方程:

$\开始{对齐*}\微分算符(\微分算符\ cdot \ vec {E}) - \微分算符^ vec {E} & = - 2 \ \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}} \ \ \暗示——\微分算符^ vec {E} & = - 2 \ \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}} \ \ \微分算符vec {E} - ^ 2 \ \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}} & = 0结束\{对齐*}$

我们得到的结果是三维电磁波方程。这个方程不仅表现在电磁波中，而且还表现在声学、地震波、声波、水波和流体动力学中。

如何推导薛定谔方程

波动方程的平面波解

从一维的波动方程开始(它很容易推广到三维，因为逻辑将适用于所有 $x, y$ 和 $z$ 维度。):

${方程*}\ \开始压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {x}} = \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {t}} \ Longrightarrow \压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {t}} = 0 \{方程*}结束$

这实际上是一个二阶偏微分方程，满足于平面波解:

${begin{equation*} E(x, t) = E_0 E ^{i(kx - \omega t)}} text{(自己检查一下!)} \结束{方程*}$

我们从普通的波动力学中是怎么知道的 $k = \压裂{2 \π}{\λ}$ 和 $= 2 f$ 。现在，让我们利用爱因斯坦和康普顿的功，代入光子的能量是由 $\mathsf{E} = \hbar \omega$ 从de-Broglie那里 $p = h / = hbar k$ 。我们可以进一步调整我们的平面波解:

$\{方程*}开始E (x, t) = E_0 E ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {E} t)} \{方程*}结束$

这是描述光子的平面波方程。让我们把这个方程代入我们的波动方程，看看我们会发现什么!

$左(\ \开始{对齐*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} \右)E_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} & = 0 \ \ \暗示——\压裂{1}{\百巴^ 2}\离开(p ^ 2 - \压裂{\ mathsf {e} ^ 2} {c ^ 2} \右)E_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} & = 0结束\{对齐*}$

换句话说, $mathsf{E}^2 = p^2 c^2$ 这很好，因为我们从狭义相对论中知道一个有质量的相对论粒子的总能量 $米$ 是:

$(E ^2 = p^2c^2 + m^2 c^4) \end{equation*}$

到目前为止，我们只讨论了没有质量的光子 $(m = 0)$ !所以让我们扩展我们的理解，应用有质量的粒子的总相对论能量(比如电子)，并把我们方程的名字改为 $\ψ$ 因为我们没有超大。

$\{方程*}-开始\压裂{1}{\百巴^ 2}\离开(p ^ 2 - \压裂{\ mathsf {E} ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2 c ^ 2 \) \ Psi E ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {E} t)} = 0结束\{方程*}$

现在这个方程直接从光子的平面波方程代入波方程得到。然而，由于我们现在想用能量来解决一个有质量粒子的总相对论能量，我们需要稍微改变波动方程。这是因为波动方程不应该完全适用于我们新的 $\ψ$ 用来描述粒子和波。现在我们可以反解一个算子得到上面的方程，它由:

$左(\ \开始{方程*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\)\ Psi e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} = 0结束\{方程*}$

在波动方程中求解有质量的粒子

现在，我们想对我们刚刚描述的全部能量，做一些近似 $\ mathsf {E}$ 对于一个有动量和质量的粒子。我们稍微重新整理一下公式这样我们就可以用一些近似了。

$\开始{对齐*}\ mathsf {E} ^ 2 & = p c ^ 2 ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 \ \ \ mathsf {E} & = \ sqrt{\离开(p c ^ 2 ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 \对吧 )}\\ &= \ √6{\离开(c ^ 4(\压裂{p ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2) \ )}\\ &= \ √6{\离开(c ^ 4 m ^ 2(\压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1) \右)}\ \ & = mc ^ 2 \√{\离开(\压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1 \右)}\{对齐*}结束$

这个操作的重点是得到这样的方程 $\ sqrt {1 + x}$ 因为如果我们取这个方程的泰勒级数展开式我们得到

${方程*}\ \开始sqrt {1 + x} \大约1 + \压裂{x}{2} - \压裂{x ^ 2}{8} + \压裂{x ^ 3}{16} +……结束\{方程*}$

当 $x$ 是很小的，泰勒展开式中唯一保留的部分是 $O (1)$ 术语。在能量公式中， $x = \压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} = \离开(\压裂{p} {mc} \右)^ 2$ 。我们可以利用这个事实 $p = mv \ll mc$ 对于任何不是以光速旅行的东西(如果你找到任何不满足这个的东西，请找到我)!所以这一项实际上可以简化为:

${对齐*}\ \开始mathsf {E} & = mc ^ 2 \√{左(\ \压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1 \对吧 )}\\ & \ 大约mc ^左(1 + 2 \ \压裂{1}{2}\压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} \ )\\ & = mc ^ 2 + \压裂{p ^ 2} {2 m} = mc ^ 2 + E_{\文本{动能}}{对齐*}\结束$

在哪里

$文本\{方程*}E_开始\{动能}= \压裂{1}{2}mv ^ 2 = \压裂{1}{2}\压裂{(mv) ^ 2} {m} = \压裂{p ^ 2} {2 m} \{方程*}结束$

是我们在高中物理中看到的普通动能。现在回到之前的波函数，让我们输入新的信息，看看我们得到了什么:

$\开始{对齐*}\ Psi (vec {r} \ t) & = \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(vec {r} - p \ \ mathsf {e} t)} \ \ & = \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(p vec {r} \ - mc ^ 2 t - E_{\文本{动能}}t)} \ \ & ^ = e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}vec {r} - E_ (p \{\文本{动能}}t)} \ \ \{对齐*}结束$

我们把这两项分开的原因是第一项 $e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t}$ (仅仅是基于光速)会比第二项振荡得多，而且不一定描述我们所追求的粒子波实体。因此，为了巩固这一区别，我们现在要确定:

${方程*}\ \开始Psi (vec {r} \ t) = e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi (vec {r} \ t) \{方程*}结束$

我们现在定义:

${方程*}\ \开始psi (vec {r} \ t) = \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}vec {r} - E_ (p \{\文本{动能}}t)}。结束\{方程*}$

现在我们求一阶偏导和二阶偏导 $vec {\ Psi (\ r}, t)$ 看看我们会得到什么。第一个:

${方程*}\ \开始压裂{\部分{\ Psi}}{\部分t} = - \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi (vec {r} \ t) + e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ Psi (vec {r} \ t)}{\部分t} \{方程*}结束$

第二个:

$\开始{方程*}\压裂{\部分^ 2 {\ Psi}}{\部分t ^ 2} = \离开(- \压裂{m ^ 2 c ^ 4}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi - \压裂我{2}{\百巴}mc ^ ^ 2 e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ Psi}{\部分t} \右)+ e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分^ 2 \ Psi}{\部分t ^ 2} \{方程*}结束$

我们应该记住，最后一项的二阶偏导非常小因为实际上没有 $c ^ 2$ 项的数量级，因此，通过近似，实际的二阶导数是:

$\开始{对齐*}\压裂{\部分^ 2 {\ Psi}}{\部分t ^ 2} \大约\离开(- \压裂{m ^ 2 c ^ 4}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi - \压裂我{2}{\百巴}mc ^ ^ 2 e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ Psi}{\部分t} \) \{对齐*}结束$

我们取这两个偏导数的秘密原因是，我们可以把它们代入前面描述波函数的方程:

但在这之前，让我们重新整理一下这个公式最后我们会得到一个叫做克莱因-戈登方程的方程

$左(\ \开始{对齐*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\)\ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} & = 0 \ \ \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi (x, t)}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\ Psi (x, t ) &= \ 压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi (x, t)}}}{\部分^ 2 {t}} \{对齐*}结束$

现在，我们可以很容易地把这个方程转化成一个矢量方程(我们推导这个公式所采取的所有步骤都适用于所有情况)，从而将它推广到三维空间 $x, y$ 和 $z$ 。)

$\开始{方程*}\微分算符^ 2 \ Psi (vec {r} \ t) - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\ Psi (vec {r} \ t) = \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi (vec {r} \ t)}}}{\部分^ 2 {t}} \{方程*}结束$

这个方程被称为自由粒子的克莱因-戈登方程。这个方程是相对的，因为它的能量项不做我们做过的假设 $\ sqrt {1 + x}$ 泰勒展开式。

现在，让我们简化克莱恩-戈登方程(回到一维并应用我们的新能量公式)，我们将得到期待已久的薛定谔方程:

${对齐*}\ \开始压裂{{\部分^ 2 {\ Psi}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\ Psi & = \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi}}}{\部分^ 2 {t}} \{对齐*}结束$

我们引入新的波函数 $\ Psi (vec {r} \ t) = e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi (vec {r} \ t)$ 我们知道它对时间的一阶和二阶导数是什么

$\开始{对齐*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi & = \压裂{1}{c ^ 2} \离开(- \压裂{m ^ 2 c ^ 4}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi - \压裂我{2}{\百巴}mc ^ ^ 2 e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} \右)+ e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} \ \ \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi & = \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi- \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi - \压裂我{2}{\百巴}我^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} + e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分^ 2 \ psi}{\部分t ^ 2} \ \ \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi & = - \压裂我{2}{\百巴}我^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} \ \ e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \离开(\压裂{{\部分^ 2 {\ psi}}}{\部分^ 2 {x}} + \压裂{2 im}{\百巴}\压裂{\部分\ psi}{\部分t} \右)& = 0结束\{对齐*}$

现在我们需要做的就是简单地重新排列，得到三维的薛定谔方程(注意 $\压裂{1}{我}=我$ ):

$\{方程*}我开始\百巴\压裂{\部分{}}{\部分{t}} \ Psi (vec {r} \ t) = \压裂{- \百巴^ 2}{2 m} \微分算符^ 2 \ Psi (vec {r} \ t)结束\{方程*}$

这个论证可以通过注意到经典哈密顿函数的相似之处，方程右边的项描述了波函数的总能量。

在推导过程中，我们假设 $V (vec {r} \ t)$ 等于0，只考虑了动能。我们知道位势的空间变化是纯相加的，因此，三维空间的完整薛定谔方程是这样给出的:

$\{方程*}我开始\百巴\压裂{\部分{}}{\部分{t}} \ Psi (vec {r} \ t) =左\[\压裂{- \百巴^ 2}{2 m} \微分算符^ 2 + V (vec {r} \ t)正确\]\ Psi (vec {r} \ t)。结束\{方程*}$

就是这样!我们有了它，本文导出了三维非相对论粒子的完整薛定谔方程。如果你喜欢这篇文章，并希望看到更多类似的文章，请给我们发邮件让我们知道。

引用

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格里菲思,d .(2019)。量子物理学。剑桥:剑桥大学出版社，第3版。
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