指数傅立叶级数|的分析mabetx官网

傅里叶级数

一个连续时间信号x(t)是周期性的，如果存在一个非零的正t值

我们知道，任何周期信号都可以分为谐波相关正弦或复指数，只要它满足狄利克雷的条件。这个分解的表示被调用傅里叶级数。
两种类型的傅里叶级数表示。两者是等价的。

指数函数的傅里叶级数
三角函数的傅里叶级数

这两种表示都给出了相同的结果。根据信号的类型，我们根据方便程度选择任何一种表示方式。

指数函数的傅里叶级数

对周期信号进行分析指数函数的傅里叶级数在以下三个阶段:

周期信号的表示。
周期信号的振幅和相位谱。
周期信号的功率内容。

周期信号的表示

傅里叶级数中的周期信号可以表示为两个不同的时域:

连续时间域。
离散时间域。

连续时间域

复杂的指数函数的傅里叶级数基本周期为t的周期信号x(t)的表示_o是由

其中，C被称为复杂的傅里叶系数由，

在∫₀^T₀，表示任意一个周期的积分，从0到T₀或- t₀/ 2 T₀/2是常用的积分限。
将式(2)两边同时乘以e，可得式(3^(jlω₀t)在一段时间内对两边积分。

把r。h。s上求和和积分的顺序互换，我们得到

当k≠l时，(5)在上下限处的右侧值为零。另一方面，如果k=l，我们有

因此式(4)简化为

表示x(t)在一段时间内的平均值。
当x (t)是实数时，

其中，*表示共轭

离散时间域

离散信号的傅里叶表示法与连续时域周期信号的傅里叶表示法非常相似。
基本周期为n的周期序列x[n]的离散傅里叶级数表示_o是由
在那里,C_k，是傅里叶系数，由

我们可以用在连续时域中同样的方法来推导它。

周期信号的振幅和相位谱

我们可以表示复傅里叶系数C_k作为

|c的图_k|与角频率w叫做周期信号的振幅谱x (t)和Ф的阴谋_k，与w，称为x(t)的相位谱。由于指数k只假设整数，振幅和相位谱不是连续的曲线，而只出现在离散频率kω₀，它们因此被称为离散频谱或线频谱。
对于一个真实的周期信号x (t)我们有C_{- k}= C_k^*。因此,

因此，振幅谱是ω的偶函数，相位谱是ω的奇函数0对于一个真正的周期信号。