有时所有的时域信息都是不充分的。这使得我们转向信号的频域来提取更多关于信号的信息。从一个领域到另一个领域的移动称为转换。为了将信号的时域变换为频域，我们有许多工具。傅里叶级数和傅里叶变换是我们将信号分解成谐波相关正弦信号的两个工具。通过这样的分解，一个信号就被称为在频域表示。
大多数实际信号都可以分解成正弦信号。这种周期信号的分解称为a傅里叶级数。
频率分析
就像白光可以分解成七种颜色一样，周期信号也可以分解成谐波相关频率的线性加权和。这个与谐波相关的正弦或复指数的线性加权和被称为傅里叶级数或变换。一般来说，将任何信号分解成与频率相关的分量称为频率分析。就像分析光的颜色实际上是频率分析的一种形式，因此傅里叶级数和傅里叶变换也是频率分析的工具。
从下面的例子中可以更清楚地看出这一点。
假设我们让一束光通过棱镜，它会被分成七种颜色的VIBGYOR。每种颜色都有一个特定的频率或一个特定的频率范围。同样的，如果我们让一个周期信号通过傅里叶工具，它扮演着棱镜的角色，信号被分解成傅里叶级数。
信号与向量类比
一个N维的向量需要N维来表示。就像蚂蚁在桌子上移动一样，它在桌子上的位置需要两个维度来表示，即x和y，我们也熟悉i, j, k坐标系来表示一个矢量在三维。这个单位向量i j k相互正交。同样地，如果我们把一个信号当作一个多维向量，我们需要更多的相互正交的维数。是j·b·j·傅里叶的天才发明了相互正交的多维度。这些是谐波相关的正弦或者复指数。考虑尺寸(也称为基)
ω0t sin2ω0t sin3ω0t sin4ω0t ........ ω0t
cos0t cos2t0t cos3t0t cos4t ........ cos0t
因此，所有的sinnω0t与Sinmω0t (n≠m)正交，因此可以用sinnω0t, sin2ω0t，…∞作为主维(也称基)来表示周期信号。类似地，当不能使用正弦ω0t维数时，我们也可以用cos_0t, cos_0t, cos_3t…∞作为额外维数。我们会看到，对于偶数信号，只有余弦项是合适的，对于奇信号，只有正弦项是合适的。对于非奇偶周期信号，我们同时使用正弦和余弦项。
请注意
只有在信号符合狄利克雷条件的情况下，周期信号才能用傅立叶级数表示。对于非周期信号，我们用傅里叶变换工具将信号从时域变换到频域。
把信号分解成它的谐波相关频率称为傅里叶分析而逆即重组，则称为聚乳酸合成傅里叶。
狄利克雷的条件
X (t)在任何时期都是绝对可积的，也就是说，
X (t)在t的任意有限区间内有有限个极大值和极小值。
X (t)在t的任意有限区间内有有限个不连续点，每个不连续点都是有限的。
注意狄利克雷条件是傅里叶级数表示的充分条件但不是必要条件。
