巴特沃斯滤镜:是什么?（设计与应用）|mabetx官网电气4U.

内容

什么是巴特沃斯滤波器?

一种Butterworth Filter.是一种旨在具有尽可能平坦的频率响应的信号处理过滤器通频带。因此，Butterworth滤波器也被称为“最大平坦幅度滤波器“。它在1930年由英国工程师和物理学家斯蒂芬贝特沃斯撰写的纸张上题为“论滤波器放大器理论“。

巴特沃斯滤波器的频率响应在通带内是平坦的(即a带通滤波器）在阻带中向零滚动。滚降响应速率取决于滤波器的顺序。在滤波器电路中使用的反应元件的数量将决定过滤器的顺序。

这电感器和电容器是过滤器中使用的活性元件。但在巴特沃斯滤波器的情况下，只使用电容器。所以，电容器的数量决定了滤波器的顺序。

在这里，我们将讨论带有低通滤波器的巴特沃斯滤波器。类似地,高通滤波器可以通过改变职位来设计抵抗性和电容。

Butterworth低通滤波器设计

在设计滤波器时，设计者试图实现接近理想滤波器的响应。很难将结果与精确的理想特性相匹配。我们需要使用复杂的高阶滤波器来实现接近理想特性的特性。

如果增加过滤器的顺序，则滤波器的级联阶段数也增加。但在实践中，我们无法实现Butterworth的理想频率响应。因为它在通带中产生过度的纹波。

在Butterworth滤波器中，数学上，可以从0 Hz到截止的平坦频率响应频率在-3dB没有波纹。如果频率大于截止频率，一阶滤波器将以-20 dB/decade的速率衰减至零。

如果增加过滤器的顺序，则滚动周期的速率也增加。并且对于二阶，它是-40 dB /十年。Butterworth过滤器的质量因数为0.707。

下图显示了不同阶次的巴特沃斯滤波器的频率响应。

n阶Butterworth低通滤波器频率响应的广义形式为:

$\ [h（j \ omega）= \ frac {1} {\ sqrt {1+ \ varepsilon ^ 2（\ frac {omega} {\ omega_c}）^ {2n}}} \]$

在哪里，
N =滤波器阶数，
ω=电路的工作频率（通带频率）
ω_C=截止频率
ε=最大通带增益= a_马克斯

以下等式用于找到ε的值。

$\ [h_1 = \ frac {h_0} {\ sqrt {1+ \ varepsilon ^ 2}} \]$

在哪里，
H₁=最小通带增益
H_0.=最大通带增益

一阶低通巴特沃思过滤器

低通滤波器是一种允许频率低于截止频率的信号衰减频率高于截止频率的信号的滤波器。

在一阶滤波器中，无功分量的个数只有一个。下图是一阶低通巴特沃思滤波器的电路图。

低通巴特沃斯滤波器是有源低通滤波器因为它包括op-amp.。此OP-AMP在非反相模式下运行。因此，过滤器的增益将由该滤波器决定电阻器R.₁和R_F。并且截止频率由R和C决定

现在，如果你申请分压器规则在点VA并找到电压穿过电容器。它被给予;

$V_a = \frac{-jX_C}{R-jX_C} V_{in}$

$\ [v_a = \ frac {-j（\ frac {1} {2 \ pi f c}）} {r-j（\ frac {1} {2 \ pi f c}）} v_ {in} \]$

$\ [v_a = \ frac {-j} {2 \ pi frc - j} v_ {in} \]$

$\ [v_a = \ frac {v_ {in}} {1- \ frac {2 \ pi frc} {j}} \]$

$V_a = \frac{V_{in}}{1+j2 \pi fRC}$

由于OP-AMP的非反相配置，

$V_0 = \左(1+ \frac{R_f}{R_1} \右)V_a$

$左(1 + \ [V_0 = \ \压裂{R_f} {R_1} \) \压裂{V_{在}}{1 + j2 \πfRC} \]$

$\ [\ frac {v_0} {v_a} = \ frac {a_f} {1 + j \ frac {f} {f_c}} \]$

在哪里，

$A_f = 1 + \frac{R_F}{R_1}$

一种_F=通带中过滤器的增益

$f_c = \frac{1}{2 \pi RC}$

F_C=截止频率
f =工作频率

$\ [\ frac {v_0} {v_a} = \ left | \ frac {v_0} {v_a} \右| \角度\ phi \]$

$左| \ \压裂{V_0} {V_a} \右| = \压裂{A_f}{\√6 {1 + j \离开(\压裂{f} {f_c} \右)^ 2}}$

$谭\[\φ= - \ ^{1}\离开(\压裂{f} {f_c} \) \]$

在非常低的频率下，f<C
$\ [\ lef | \ frac {v_0} {v_a} \右|\大约a_f（常量）\]$
在截止频率，f = f_C
$左| \ \压裂{V_0} {V_a} \右| = \压裂{A_f} {\ sqrt {2}} = 0.707 A_f$
高频，f> f_C
$\左|\frac{V_0}{V_a} \右| < A_f$

下图显示了一阶低通巴特韦尔滤波器的频率响应。

二阶巴特沃思滤波器

二阶Butterworth过滤器由两个反应组件组成。二阶低通过Butterworth滤波器的电路图如下图所示。

在这类滤波器中，有电阻R和电阻R_F是OP-AMP的负面反馈。滤波器的截止频率由r决定₂, R_3.C₂，和c_3.。

二阶低通巴特沃思过滤器由两个背靠背连接的RC网络组成。和R._L.是负载电阻。

一阶和二阶巴特沃斯滤波器非常重要。因为我们可以通过级联一阶和二阶巴特沃斯滤波器来获得更高阶的Butterworth滤波器。

让我们分析二阶Butterworth滤波器的电路，

在Point v上申请Kirchhoff的当前法律₁。

$\ [i_1 = i_2 + i_3]$

（1） $\ begin {arequation *} \ frac {v_ {in} -v_1} {r_2} = frac {v_1-v_0} {\ frac {1}} + \ frac {v_1-v_a} {r_3} \ need{方程*}$

在V点使用势分法则_一种

$\ [v_a = v_1 \ left [\ frac {\ frac {1} {sc_3}} {r_3 + \ frac {1} {sc_3}}右] \]$

$\ [v_a = v_1 \ left [\ frac {\ frac {1} {sc_3}} {\ frac {r_3 {sc_3} + {1}} {sc_3}}右] \]$

$\ [v_a = \ frac {v_1} {1 + sr_3c_3} \]$

$V_1 = V_a (1+sR_3C_3)$

代入V的值₁在方程(1)

$\ [\ frac {v_ {in} -v_a（1 + sr_3c_3）} {r_2} = \ frac {v_a（1 + sr_3c_3）-v_0} {\ frac {1} {sc_2}} + \ frac {v_a（1+ sr_3c_3）-v_a} {\ frac {1} {r_3}} \]$

$中\[\压裂{V_ {}} {R_2} - \压裂{V_a (1 + sR_3C_3)} {R_2} = \压裂{V_a (1 + sR_3C_3)}{\压裂{1}{sC_2}} - \压裂{V_0}{\压裂{1}{sC_2}} + \压裂{V_a (1 + sR_3C_3)} {R_3} - \压裂{V_a} {R_3} \]$

$中\[\压裂{V_ {}} {R_2} + \压裂{V_0}{\压裂{1}{sC_2}} = \压裂{V_a (1 + sR_3C_3)}{\压裂{1}{sC_2}} + \压裂{V_a (1 + sR_3C_3)} {R_2} + \压裂{V_a (1 + sR_3C_3)} {R_3} - \压裂{V_a} {R_3} \]$

$中\[\压裂{V_ {}} {R_2} + V_0 sC_2左= V_a \ [sC_2 (1 + sR_3C_3) + \压裂{(1 + sR_3C_3)} {R_2} + \压裂{(1 + sR_3C_3)} {R_3} - \压裂{1}{R_3} \右)\]$

$中\[\压裂{V_ {} + V_0 sC_2 R_2} {R_2} = V_a \离开[\压裂{R_3 R_2 sC_2 (1 + sR_3C_3) + R_3 (1 + sR_3C_3) + R_2 (1 + sR_3C_3) - R_2} {R_2R_3} \右)\]$

$\ [r_3（v_3（} + v_0 sc_2 r_2）= v_a \左[r_3 r_2 sc_2（1 + sr_3c_3）+ r_3（1 + sr_3c_3）+ r_2（1 + sr_3c_3） - r_2 \右] \]$

$\ [R_3 V_{在}+ V_0 sC_2 R_2 R_3左= V_a \ [(1 + sR_3C_3) \离开(R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 \右)——R_2 \] \]$

$\ [v_a = \ frac {r_3 v_ {in} + v_0 sc_2 r_2 r_3} {（1 + sr_3c_3）\ left（r_3 r_2 sc_2 + r_3 + r_2 \右） - r_2} \]$

由于OP-AMP的非反相配置，

$\ [v_0 = a_f v_a \]$

在哪里，

$\ [A_f = 1 + \压裂{R_f} {R_1} =获得\ \,过滤\ \,通频带\]$

$左\ [V_0 = A_f \[\压裂{R_3 V_{在}+ V_0 sC_2 R_2 R_3} {(1 + sR_3C_3) \离开(R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 \右)- R_2} \右)\]$

$\ [V_0 - \压裂{A_f V_0 sC_2 R_2 R_3} {(1 + sR_3C_3) \离开(R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 \右)- R_2} = \压裂{A_f R_3 V_在}{}{(1 + sR_3C_3) \离开(R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2 \右)- R_2}} \]$

$左V_0 \ [(1 + sR_3C_3) (R_3 R_2 sC_2 + R_3 + R_2) - R_2 A_f sC_2 R_2 R_3 \右]= A_f R_3 V_的{}$

$\ [\ frac {v_0} {v_ {in}} = \ frac {a_f r_3} {\ left [（1 + sr_3c_3）（r_3 r_2 sc_2 + r_3 + r_2） - r_2 - a_f sc_2 r_2 r_3 \右]} \]$

重新安排这个方程,

$\压裂{V_0} {V_{在}}= \压裂{A_f R_3}{左\ [(1 + sR_3C_3) (R_2 + R_3 + sR_2R_3C_2) - R_2 sA_fR_2 R_3C_2 \右]}$

$\ [\ frac {v_0} {v_ {in}} = \ frac {a_f r_3} {左[（r_2 + r_3 + sr_2r_3c_2 + sr_2r_3c_3 + sr_3 ^ 2 c_3 + s ^ 2r_2r_3 ^ 2c_2c_3） - r_2 - sa_fr_2 r_3c_2 \]} \]$

$\ [\ frac {v_0} {v_ {in}} = \ frac {a_f r_3} {s ^ 2r_2r_3 ^ 2c_2c_3 + s（r_2r_3c_2 + r_2r_3c_3 + r_3 ^ 2c_3 - a_fr_2 r_3c_2）+ r_3} \]$

$\ [\ frac {v_0} {v_ {in}} = \ frac {a_f r_3} {r_2r_3 ^ 2c_2c_3 \ left（s ^ 2 + s \ frac {r_2r_3c_2 + r_2r_3c_3 + r_3 ^ 2c_3 - a_fr_2 r_3c_2} {r_2r_3 ^ 2c_2c_3} + \ frac {r_3} {r_2r_3 ^ 2c_2c_3} \右）} \]$

$\压裂{V_0} {V_{在}}= \压裂{A_f} {R_2R_3C_2C_3左\(^ 2 +年代\压裂{R_2C_2 + R_2C_3 + R_3C_3 - A_fR_2C_2} {R_2R_3C_2C_3} + \压裂{1}{R_2R_3C_2C_3} \右)}$

$\ [\ frac {v_0} {v_ {in}} = \ frac {\ frac {a_f} {r_2r_3c_2c_3}} {\ left（s ^ 2 + s \ frac {r_2c_2 + r_2c_3 + r_3c_3 - a_fr_2c_2} {r_2r_3c_2c_3} +\ frac {1} {r_2r_3c_2c_3} \右）} \]$

将此方程与二阶巴特沃斯滤波器的标准传递函数进行比较。那就是,

$\ [\ frac {v_0} {v_ {in}} = \ frac {a} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ oomega_c s + \ oomega_c ^ 2} \]$

通过比较上述方程，可以得到二阶低通巴特沃斯滤波器的截止频率和总增益的方程。

滤波器的增益为，

$A_{max} = \frac{A_f}{R_2R_3C_2C_3}$

滤波器的截止频率是，

$\ [\ omega_c ^ 2 = \ frac {1} {r_2r_3c_2c_3} \]$

$\ [\ OMEGA_C = \ FRAC {1} {\ SQRT {R_2R_3C_2C_3}} \]$

$\ [f_c = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {r_2r_3c_2c_3}}}}}}}}}$

现在，如果考虑R的值₂与r相同_3.和c的值₂与c相同_3.。

$R_2 = R_3 = R \四边形和\四边形C_2 = C_3 = C$

$\ [f_c = \ frac {1} {2 \ pi r c} \]$

如果我们把上面的值放到传递函数中，

$\ [\ frac {v_0} {v_ {in}} = \ frac {\ frac {a_f} {r ^ 2c ^ 2}} {s ^ 2c ^ 2}} {s ^ 2c ^ 2}} {s ^ 2 + s \ frac {rc + rc + rc-a_f rc} {r^ 2c ^ 2} + \ frac {1} {r ^ 2c ^ 2}} \]$

$\ [oomega_c = \ frac {1} {rc} \]$

$\ [\ frac {v_0} {v_ {in}} = \ frac {a_f \ oomga ^ 2} {s ^ 2 + s（3-a_f）\ oomega + \ oomega ^ 2}}} \]$

从上方等式，质量因子Q等于，

$Q = \frac{1}{3-A_f}$

我们可以这么说，质量因素仅取决于过滤器的增益。并且增益的值不应超过3.如果增益的值超过3，则系统将不稳定。

Butterworth滤波器的质量因子的值为0.707。如果我们在质量因素方程中放置这个值，我们可以找到增益的值。

$0.707 = \frac{1}{3-A_f}$

$\ [a_f = 1.586 \]$

$\ [1 + \ farc {r_f} {r_1} = 1.586 \]$

$\farc{R_f}{R_1} = 0.586$

设计二阶巴特沃思滤波器时，必须满足上述关系。该滤波器的频率响应如下图所示。

三阶低通巴特韦尔滤波器

三阶低通巴特沃思过滤器可以通过级联一阶和二阶Butterworth滤波器来设计。

下图显示了三阶低通巴特韦尔滤波器的电路图。

在该图中，第一部分显示了一流的低通巴特沃特滤波器，第二部分显示了二阶低通巴特韦尔滤波器。

但在这种情况下，第一部分的电压增益是可选的，可以设置在任何值。因此，第一个OP-AMP不参加电压增益。因此，对于第三阶低通滤波器的图也可以表示如下图;

二阶滤波器的电压增益影响频率响应的平坦度。如果二阶滤波器的增益保持在1.586，则增益将为每个部分的3DB降至3DB。因此，截止频率下总增益将下降6dB。

通过增加二阶滤波器的电压增益，可以抵消电压增益的累积损失。

在三阶巴特沃斯滤波器中，滚转周期的速率为-60dB/decade。与一阶滤波器和二阶滤波器相比，该滤波器的频率响应更接近理想的巴特沃思滤波器。该滤波器的频率响应如下图所示。

四阶低通巴特沃思滤波器

第四阶Butterworth滤波器由两阶低通巴特沃思过滤器的级联连接建立。四阶低通巴特沃思滤波器的电路图如下图所示。

如果两个过滤器的增益设置为1.586，则截止频率下电压增益将下降6 dB。我们可以通过为两个阶段选择不同的电压增益值来获得更平坦的响应。根据先进的研究，如果我们使用第一阶段的电压增益1.152和第二阶段的电压增益1.152，我们获得最大响应。

下图显示了四阶低通巴特韦尔滤波器的频率响应。

Butterworth和Chebyshev过滤器之间的差异

切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器有更陡的滚轴。但它在通带(类型1)或阻带(类型2)中包含波纹。1型切比雪夫过滤器是常用的，有时它只被称为“切比雪夫过滤器”。2型滤波器又称“逆切比雪夫滤波器”。

Batterworth滤波器和Chebyshev滤波器之间的差异如下表所示。

	Butterworth Filter.	Chebyshev过滤器
过滤器的顺序	对于相同的期望规格，巴特沃斯滤波器的阶数高于切比雪夫滤波器。	在相同的要求条件下，切比雪夫滤波器的阶数比巴特沃斯滤波器的阶数要小。
硬件	它需要更多的硬件。	它需要更少的硬件。
涟漪	通带中没有波纹和频率响应的阻带。	通带或停机带上有波纹。
杆子	所有极点都位于具有截止频率半径的圆上。	所有杆位于具有长轴R，ξ，次轴r的椭圆上。
过渡带	与切比雪夫滤波器相比，巴特沃斯滤波器具有更宽的过渡带。	与巴特沃斯滤波器相比，切比雪夫滤波器具有较窄的过渡带。
类型	它没有任何类型。	它有两种类型;1型和2型。
截止频率	该滤波器的截止频率不等于通带频率。	这个滤波器的截止频率等于通带频率。

Butterworth过滤器应用

巴特沃斯滤波器的应用如下:

由于在通带内的最大平坦频率响应，它被用作数据转换器应用中的抗混叠滤波器。
Butterworth滤波器用于音频处理应用。可以使用Butterworth滤波器开发有效的音频降噪工具。
它也用于各种沟通和控制系统。
它用于雷达设计雷达目标跟踪的显示。
它用于运动分析。