LC电路分析：系列，平行，方程式和转移功能|mabetx官网电气4U.

内容

什么是LC电路？

LC电路（也称为LC滤波器或LC网络）被定义为一个电路组成的无源电路元件一个电感器(左)和一个电容器（c）连接在一起。它也称为谐振电路，罐电路或调谐电路。

由于没有一个电阻器在电路的理想形式中，LC电路不消耗能量。这不像理想的形式RC电路,RL电路,或RLC电路，由于存在电阻而消耗能量。

在实际电路中，由于元件和连接线的电阻不为零，LC电路总是会消耗一些能量。

为什么LC电路被称为调谐电路或槽电路?

的负责在电容器板之间来回流动并通过电感器。能量在电容器和电感之间振荡，直到元件和连接线的内阻使振荡消失。

该电路的作用类似于调谐动作，数学上称为谐波振荡器，其类似于在罐中来回摆动的摆锤;因此，电路称为调谐电路或罐电路。

该电路可以作为一个电谐振器，并存储在振荡的能量频率称为共振频率。

串联LC电路

在系列LC电路中，电感器和电容都连接在图中所示的系列中。

因为在串联电路中，电流在电路各处都是相同的，因此电流的流动等于通过电感和电容的电流。

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

现在端子上的总电压等于电容器上的电压和电感器两端的电压等等于电压的总和。

$\ begin {align *} v = v_l + v_c \结束{align *}$

串联LC电路共振

当一个频率增加幅度归纳电抗也增加

$\ begin {align *} x_l = \ oomga l = 2 \ pi fl \ neg {alight *}$

和幅度的幅度电容电抗减少。

$\ begin {align *} x_c = \ frac {1} {\ oomega c} = \ frac {1} {2 \ pi f c} \ neg {align *}$

在谐振条件下，电感电抗和电容电抗的大小相等。

$\ begin {aligne *} \ begin {split}＆x_l = x_c \\＆\ oomga l = \ frac {1} {\ oomega c} \\＆\ oomga ^ 2 = \ frac {1} {lc} \\＆\ oomega = \ oomega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {lc}}（其中，\ oomega =角频率）\\＆2 \ pi f = \ oomega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {lc}} \\＆f_0 = \ frac {\ omega_0} {2 \ pi} = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {lc}} \\ \ neat {split} \ end {align *}$

在那里, $\ omega_0.$ 是谐振角频率（每秒弧度）。

$F_0.$ 是谐振频率（赫兹）。

现在AN阻抗系列LC电路由

$\开始{对齐*}\开始{分裂}& Z_L_C_ (_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C j \ \ & =ωL + \压裂{1}{C jω\}\ & = j \ωL + \压裂{j} {j C ^ 2ω\}\ & j = \ωL - \压裂{j}{\ωC} \ & = j(\压裂{\ω^ 2 LC - 1}{\ωC}) (, j ^ 2 = 1) \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

现在角度谐振频率是 $\ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {lc}}$ ，那么阻抗变成了

(1) $\ begin {arearation *} z_l_c（\ omega）_（_ s_e_r_i_e_s_）= j l（\ frac {\ oomega ^ 2 - \ oomega_0 ^ 2} {\ omega}）\ end {公式*}$

因此在谐振条件下 $ω= \ \ omega_0$ 总电阻抗Z为零表示X_l和X._C互相抵消。因此，提供给系列LC电路的电流最大值（ $i = \ frac {v} {z}$ )。

因此，系列LC电路，当与负载串联连接时，将充当一个带通滤波器在谐振频率处阻抗为零的。

在低于谐振频率的频率i.e. $f <f_0.$ , $X_C >> X_L.$ 。因此电路是容性的。
在高于谐振频率的频率i.。 $f > f_0$ , $X_L >> X_C.$ 。因此电路是有感应的。
在共振频率即。 $f = f_0$ , $X_L = X_C$ 。电流最大，阻抗最小。在这种状态下，电路可以充当受体电路。

平行的LC电路

在并联LC电路中，电感器和电容器两者都并联连接在图中示出。

并联电路中的每个端子上的每个端子上的电压是相同的。因此，端子上的电压等于电感器两端的电压和电容器两端的电压。

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

流过并联LC电路的总电流等于流过电感器的电流和流过电容器的电流的总和。

$\ begin {align *} i = i_l + i_c \ neg {align *}$

并联LC电路中的谐振

在感应抗抵抗（ $X_L$ )等于电容电抗( $X_C$ ），反应分支电流相等且相反。因此，它们互相抵消以在电路中提供最小电流。在这种状态下，总阻抗最大。

谐振频率由

$\ begin {align *} f_0 = \ frac {\ oomega_0} {2 \ pi} = \ frac {1} {2 \ pi \ sqrt {lc}} \ neg {senvent *}$

现在并行LC电路的阻抗

$\ begin {aligne *} \ begin {split} z_l_c_（_ p_a_r_a_l_l_l_l_）= \ frac {z_c z_c} {z_l + z_c} \＆= \ frac {j \ oomega l \ frac {1}} {j \ omega c}} {j \ oomega l + \ frac {1} {j \ oomega c}} \＆= \ frac {\ frac {\ frac {l} {c}} {\ frac { - \ oomega ^ 2 lc + 1} {j \ omega c}} \＆= \ frac {j \ oomega l} {1 - \ omega ^ 2 lc} \ \ neg {split} \ end {align *}$

现在角度谐振频率是 $\ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {lc}}$ ，那么阻抗变成了

(2) $\ begin {公式*} z_l_c（\ omega）_（_ p_a_r_a_l_l_l_l_）= - j（\ frac {1} {c}）（\ frac {\ omega} {\ omega ^ 2 - \ oomega_0 ^ 2}）\ neg {方程*}$

因此在谐振条件下 $ω= \ \ omega_0$ 总电阻抗Z将是无穷大的，并且提供给并联LC电路的电流最小( $i = \ frac {v} {z}$ )。

因此，当与负载串联连接时的并联LC电路将充当带停止滤波器，其具有谐振频率的无限阻抗。与负载并联连接的并联LC电路将充当带通滤波器。

在频率低于谐振频率i.e.f 0, X_l>> X._C。因此电路是有感应的。
频率高于共振频率，即f>f₀, X_C>> X._l。因此电路是容性的。
以谐振频率i.e.f = f₀, X_l= X_C，电流最小，阻抗最大。在这种状态下，电路可以充当抑制电路。

LC电路方程式

电流电压方程

在初始条件下：

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\ begin {aligne *} v（0）= - \ omega_0 l i_0 sin \ phi \ neg {alight *}$

振动:

$\ begin {align *} i（t）= i_0 sin（\ omega_0 t + \ phi）\ end {align *}$

$\{对齐*}开始V (t) = \√6{\压裂{L} {C}} I_0罪(t + \ \ omega_0φ)\{对齐*}$

LC电路微分方程

${对齐*}\ \开始压裂{d ^ 2我(t)} {dt ^ 2} + \压裂{1}{LC}我(t) = 0 \{对齐*}$

$\{对齐*}开始S ^ 2 (t) + \压裂{1}{LC}我(t) = 0 \{对齐*}$

$\{对齐*}开始S ^ 2 + \ omega_0 ^ 2 = 0 \ \,(在那里,\ω= \ omega_0 = \压裂{1}{\ sqrt {LC}})结束\{对齐*}$

串联LC电路的阻抗

$\ begin {aligal *} z_l_c（\ omega）_（_ s_e_r_i_e_s_）= j l（\ frac {\ omega ^ 2 - \ oomega_0 ^ 2} {\ omega}）\结束{align *}$

并联LC电路的阻抗

$\{对齐*}开始Z_L_C(\ω)_ (_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j(\压裂{1}{C})(\压裂{\ω}{\ω^ 2 - \ omega_0 ^ 2})结束\{对齐*}$

设定时间

LC电路可以用作电谐振器并在称为谐振频率的频率处的电场和磁场之间存储能量振荡。由于任何振荡系统在一段时间内以稳态条件达到，所以称为设定时间。

在稳态值时，响应逐渐减小并趋于稳定，此后保持在其最终值的+- 2%以内的时间称为凝结时间。

LC电路电流

认为 $我(t)$ 是流过电路的瞬时电流。电感上的压降用电流表示 $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ 电容上的电压降是 $V = \frac {Q}{C}$ ，其中Q是存储在电容器正极板上的电荷。

现在根据Kirchhoff的电压法，闭环各个组件的潜在液滴之和等于零。

（3） $L \ \开始{方程*}压裂{dI (t)} {dt} + \压裂{Q} {C} = V \{方程*}结束$

把上面的方程除以L，然后对t求导，我们得到

$\ begin {aligne *} \ frac {d ^ 2 i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {d} {dt} \ frac {d} {lc} = \ frac {dv} {dt} \结束{对齐*}$

$\ begin {aligne *} \ frac {d ^ 2 i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {1} {lc} \ frac {d} {dt}（它）= 0（其中，q =它）\结束{align *}$

$\ begin {对齐*} \ frac {d ^ 2 i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {1} {lc} i（t）= 0 \ end {align *}$

（4） $\ begin {等式*} \ frac {d ^ 2 i（t）} {dt ^ 2}} {dt ^ 2} = - \ frac {1} {lc} i（t）\ neat {arearation *}$

现在现在的目前很简单谐波振动形式是：

（5） $\ begin {公式*} i（t）= i_0 sin（\ omega t + \ phi）（i = i = m sin \ oomega t）\ neg {arearation *}$

在哪里 $I_0 > 0$ 和 $\ phi.$ 是常数。

将式(5)代入式(4)有:

${对齐*}\ \开始压裂{d ^ 2} {dt ^ 2} I_0罪(\ \φωt +) = - \压裂{1}{LC} I_0罪(\ \φωt +) \{对齐*}$

$\ begin {aligne *} \ frac {d} {dt} [\ frac {d} {dt} i_0 sin（\ oomega t + \ phi）] = - \ frac {1} {lc} i_0 sin（\ omega t + \phi）\结束{align *}$

$\ begin {aligne *} \ frac {d} {dt} [\ oomega i_0 cos（\ omega t + \ phi）] = - \ frac {1} {lc} i_0 sin（\ omega t + \ phi）[\ frac {d} {dx} sinax = acosax] \结束{align *}$

$\begin{align*} -\omega^2 I_0 sin(\omega t+\phi) = -\ frac{1}{LC}I_0 sin(\omega t+\phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$\ begin {aligne *} - \ omega ^ 2 = - \ frac {1} {lc} \ neg {align *}$

（6） $\ begin {arearation *} \ omega = \ frac {1} {\ sqrt {lc}} \ end {arearation *}$

因此，从上述等式中，我们可以说LC电路是振荡电路，并且它以称为谐振频率的频率振荡。

LC电路电压

现在根据等式（3），电感器两端的感应电压减去电容器上的电压。

$\{对齐*}开始V = - l \压裂{dI (t)} {dt} \{对齐*}结束$

从等式（5）中放置电流方程，我们得到

${对齐*}\ \开始开始{分裂}V (t) = - L \压裂{d} {dt} [I_0 cos(\ \φωt + )] \ &= - L I_0 \压裂{d} {dt} [cos(\ωt + \φ )] \ &= - L I_0(-ω\罪(\ \φωt +)] \ & = \ωL I_0(罪(\ \φωt +)] \ & = \压裂{1}{\ sqrt {LC}} L I_0(罪(\ \φωt +)](,ω= \ \压裂{1}{\ sqrt {LC}}) \ \ V (t) = \√6 \压裂{L} {C} I_0(罪(\omega t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

换句话说，当电流为零时电压达到最大值，反之亦然。电压振荡幅值等于电流振荡幅值乘以电压振荡幅值 $\ sqrt \ frac {l} {c}$ 。

LC电路的传递功能

的转换功能从输入电压到跨电容器的电压是

$\ begin {align *} \ begin {split} h_c（s）= \ frac {v_c（s）} {v_i_n（s）} \＆= \ frac {z_c} {z_c + z_l} \＆= \ frac {\FRAC {1} {J \ OMEGA C}} {J \ OMEGA L + \ FRAC {1} {j \ omega c}} \＆= \ frac {\ frac {\ frac {1} {j \ omega c}} {j \ oomega c}} {\ frac{J ^ 2 \ oomega ^ 2 lc + 1} {j \ omega c}} \＆= \ frac {1} { - \ oomega ^ 2 lc + 1} \\ h_c（s）= \ frac {1} {1 - \ omega ^ 2 lc}（其中，j ^ 2 = -1）\ \ end {split} \结束{align *}$

同理，输入电压到电感间电压的传递函数为

${对齐*}\ \开始开始{分裂}H_L (s) = \压裂{V_L (s)} {V_i_n (s)} \ & = \压裂{Z_L} {Z_C + Z_L} \ & = \压裂{j \ωL} {j \ωL + \压裂{1}{j \ωC}} \ & = \压裂{j \ωL}{\压裂{j ^ 2 \ω^ 2 LC + 1} {j \ωC}} \ & = \压裂{j ^ 2 \ω^ 2 LC}{- \ω^ 2 LC + 1} \ \ H_L (s) = - \压裂{\ω^ 2 LC}{1 - \ω^ 2 LC} \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

LC电路的自然响应

让我们假设电容器最初完全放电，并且开关（k）保持打开很长时间，并且在T = 0处关闭它。

在t = 0^{- - - - - -}Switch K是开放的

这是一个初始条件，因此我们可以写，

$\{对齐*}开始I_L (0 ^ -) = 0 = I_L(0 ^ +) \{对齐*}$

$\ begin {align *} v_c（0 ^ - ）= 0 = v_c（0 ^ +）\结束{align *}$

因为通过电感器的电流和通过电容器的电压不能瞬间改变。

对于所有t> = 0⁺K开关闭合

现在在电路中引入了电压源。因此，将KVL应用于电路，我们得到，

${对齐*}\ \开始开始{分裂}- V_L (t) - V_C (t) + V_S = 0 \ \ V_L (t) + V_C (t) = V_S \ \ L \压裂{di (t)} {dt} + \压裂{1}{C} \ int i (t) dt = V_S \ \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

这里电容两端的电压用电流表示。

上述方程称为积分-微分方程。对上面方程的两边对t求导，我们得到，

$\ begin {aligne *} l \ frac {d ^ 2i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {i（t）} {c} = 0 \结束{align *}$

（7） $\ begin {arearation *} \ frac {d ^ 2i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {1} {lc} i（t）= 0 \ end {等式*}$

式(7)为LC电路的二阶微分方程。

代替 $\ frac {d ^ 2} {dt ^ 2}$ 与S.²我们得到，

(8) $\{方程*}开始S ^ 2 (t) + \压裂{1}{LC}我(t) = 0 \{方程*}$

上面方程的根是

$\ begin {aligne *} s_1，_2 = \ frac {\ sqrt {\ frac {4} {lc}} {{2}} {{2}}} {2}} {{2}}} {{2}}} {{2}}} {\ sqrt {lc}} {\ sqrt {rc}} {2} = \ FRAC {1} {\ SQRT {LC}} \ END {align *}$

在这里, $\压裂{1}{\ sqrt {LC}}$ 是振荡的固有频率。

LC电路频率响应

阻抗法:频率响应系统的一般方程为

$(\ \{对齐*}开始Hω)= \压裂{Y(\ω)}{X(\ω)}= \压裂{V_o_u_t} {V_i_n} \{对齐*}结束$

假设输出电压发生在电容两端，对上述电路应用分势规则

(9) $\ begin {arequation *} v_o_u_t = v_i_n \ frac {z_c} {z_c + z_l} \ end {arequation *}$

在那里, $Z_C =$ 电容器的阻抗 $= \ frac {1} {j \ omega c}$

$Z_L =$ 电感的阻抗 $= {j \ L}$

在等式（9）中替换它，我们得到

$\ begin {align *} \ begin {split} \ frac {v_o_u_t} {v_i_n} \＆= \ frac {z_c} {z_c + z_l} \＆= \ frac {\ frac {\ frac {1} {j \ omega c}}{j \ oomega l + \ frac {1} {j \ oomega c}} \＆= \ frac {\ frac {\ frac {1} {j \ oomega c}} {j \ omega c}} {\ frac {j ^ 2 \ oomga ^ 2 lc + 1} {j \ omega c}} \＆= \ frac {1} { - \ omega ^ 2 lc + 1}（其中，j ^ 2 = -1）\\ \ end {split} \ end {align *}$

（10） $H(\ \{方程*}开始ω)= \压裂{V_o_u_t} {V_i_n} = \压裂{1}{1 - \ω^ 2 LC} \{方程*}结束$

假设输出电压发生在电感上，对上述电路应用分势规则

（11） ${方程*}V_o_u_t = V_i_n \ \开始压裂{Z_L} {Z_C + Z_L} \{方程*}结束$

替代的价值 $Z_C.$ 和 $Z_L.$ 在上面的等式中，我们得到了

$\ begin {aligne *} \ begin {split} \ frac {v_o_u_t} {v_i_n} \＆= \ frac {z_l} {z_c + z_l} \＆= \ frac {j \ oomga l} {j \ omega l +} {j \ omega l +} {j \ omega l +}FRAC {1} {J \ OMEGA C}} \＆= \ FRAC {J \ OMEGA L} {\ FRAC {J ^ 2 \ OMEGA ^ 2 LC + 1} {J \ OMEGA C}} \＆= \ FRAC {j ^ 2 \ oomga ^ 2 lc} { - \ omega ^ 2 lc + 1} \ \ end {split} \ end {align *}$

(12) $H(\ \{方程*}开始ω)= \压裂{V_o_u_t} {V_i_n} = - \压裂{\ω^ 2 LC}{1 - \ω^ 2 LC} \{方程*}结束$

式(10)和式(12)表示lc电路的频率响应为复数形式。

LC电路微分方程

$L \ \{对齐*}开始压裂{di (t)} {dt} + \压裂{1}{C} \ int我V (t) dt = \{对齐*}$

上述方程称为积分-微分方程。这里电容两端的电压用电流表示。

现在，将上方等式相对于T，我们得到，

$\ begin {aligne *} l \ frac {d ^ 2i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {i（t）} {c} = 0 \结束{align *}$

(13) $\ begin {arearation *} \ frac {d ^ 2i（t）} {dt ^ 2} + \ frac {1} {lc} i（t）= 0 \ end {等式*}$

上述等式表示LC电路的二阶微分方程。

代替 $\ frac {d ^ 2} {dt ^ 2}$ 与S.²我们得到，

(14) $\{方程*}开始S ^ 2 (t) + \压裂{1}{LC}我(t) = 0 \{方程*}$

现在, $\ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {lc}}$ 所以， $\ omega_0 ^ 2 = \压裂{1}{LC}$ ，代入上述方程，我们得到，

$\ begin {align *} s ^ 2i（t）+ \ oomega_0 ^ 2 i（t）= 0 \ end {align *}$

$\ begin {align *} s ^ 2 + \ oomega_0 ^ 2 = 0 \ end {align {aligh *}$

LC电路充电和放电

在LC电路中，电感器和电容器都存储元件I. I.电感存储其能量磁场(B)，这取决于通过它的电流，电容器储存能量在电场(E)在其导电板之间，取决于其上的电压。

假设电容器最初含有电荷q，那么电路的所有能量最初都储存在电容器的电场中。储存在电容器中的能量是

$开始{align *} \ begin {split} e_c = \ frac {1} {2} cv ^ 2 \＆= \ frac {1} {2} c \ frac {q ^ 2} {c ^ 2} \＆= \ frac {1} {2} \ frac {q ^ 2} {c ^ 2}（v = \ frac {q} {c}）\ \ end {split} \ end {align *}$