稳态误差:它是什么?（以及如何计算它）|mabetx官网电气4U.

内容

什么是稳态误差?

稳态错误随着时间的时间变为无限远，被定义为所需值与限制中的系统输出的实际值之间的差异（即控制系统的响应达到稳态）。

稳态误差是线性系统输入/输出响应的一个特性。一般来说，一个好的控制系统应该具有较低的稳态误差。

首先，我们将通过分析一阶传递函数的稳态误差来讨论它稳态响应．让我们考虑传递函数如下:

${方程*}\ \开始压裂{C (s)} {R (s)} = \压裂{1}{0.7 s + 1} \{方程*}结束$

这是一个简单的一阶传递函数，增益等于0.7秒的一个和时间常数。请注意，它被称为一阶传输函数，因为分母中的's'具有“1”的最高功率。如果它是代替 $0.7 s ^ 2 + 1$ ，它将是一个二阶传递函数。

该传递函数与稳态输入的响应如图1所示。可以看出，在稳态，输出正常等于输入。因此，稳态误差为零。

阶跃输入时一阶传递函数的时间响应。 — **图-1：是第一阶传递函数对步骤输入的时间响应。可以看出，稳态误差为零**

这个函数对一个单元斜坡输入的响应如图-2所示。可以看出，在稳态时，输入和输出是不同的。因此，对于一个单位斜坡输入，一个稳态误差存在。

斜坡输入的第一阶传递函数的时间响应。 — **图-2:一阶传递函数对斜坡输入的时间响应。可以看出，这种情况下存在稳态误差**

注意，在许多控制系统书籍中，你可以发现，针对斜坡输入，一阶传递函数的稳态误差等于时间常数。通过观察上面的图-2，我们可以看到这是正确的。在t=3秒时，输入是3，输出是2.3。因此稳态误差是0。7，等于这个一阶传递函数的时间常数。

请注意以下重要提示:

如果输入是抛物线，则稳态误差最高，对于斜坡输入通常较低，并且甚至更低的步进输入。如在上面的说明中，稳态误差与步进输入为零，并且逆斜坡输入0.7，可以发现它是针对抛物线的输入。
需要注意的是稳态误差依赖于输入，而稳定性不依赖于输入。

让我们考虑一个具有传递函数的闭环控制系统

${方程*}\ \开始压裂{C (s)} {R (s)} = \压裂{G (s)} {1 + G (s) H (s)} \{方程*}结束$

符号有其平时的含义。系统的稳定性取决于分母i.e.'1 + g（s）'。'1 + g（s）h（s）= 0'称为特性方程。它的根部表示系统的稳定性。稳态误差取决于r（s）。

在闭环控制系统中，误差信号可以计算为 $E (s) = \压裂{R (s)} {1 + G (s) H (s)}。$ 可以找到稳态错误作为e_SS.= $\lim_{s \右箭头0}E(s)$ ，其中稳态误差为稳态误差信号的值。由此我们可以看出稳态误差依赖于R(s)。

如上所述，稳定性取决于分母，即1 + G(s)H(s)。这里' 1 '是常数，因此稳定性取决于G(s)H(s)，这是方程中可以改变的部分。所以，你可以理解波德图那奈奎斯特图是借助于G(s)H(s)绘制的，但它们表示 $\ frac {c（s）} {r（s）}$ ．
G(s)H(s)称为开环传递函数和 $\ frac {c（s）} {r（s）}$ 称为闭环传递函数。通过对开环传递函数G(s)H(s)的分析，通过波德图和奈奎斯特图可以得到闭环传递函数的稳定性。

稳态错误示例

单位阶跃输入的稳态错误

现在，我们将在闭环控制系统中解释，稳态误差，数值示例少。我们将从具有单位步进输入的控制系统开始。

示例1:

考虑以下控制系统（系统-1），如图3所示：

参考输入的R_S.'是单位阶跃输入。

系统-1的各种稳态值如图4所示。

可以看出，误差信号的稳态值为0.5，因此稳态误差为0.5。如果系统是稳定的，并且各种信号是常量，则可以如下获得各种稳态值：

在传递函数中为 $s \ rightarrow 0$ ，您将获得传递函数的稳态增益。

您可以计算输出，如下所示：

${方程*}\ \开始压裂{C (s)} {R (s)} = \压裂{4}{s + 8} \{方程*}结束$

记住, $R (s)$ =单位步骤输入= $\压裂{1}{年代}$ ，我们可以重新排列它：

$\{方程*}开始C (s) = \压裂{4}{s + 8} \乘以R (s) = \压裂{4}{s (s + 8)} \{方程*}结束$

输出稳态值为:

${方程*}\ \开始lim_ {s \ rightarrow 0} sC (s) = s \压裂{4}{s + 8} \压裂{1}{年代}= \压裂{1}{2}{方程*}\结束$

我们可以用上述方法来计算任意信号的稳态值。例如:

输入是 $r（s）= \ frac {1} {s}$ （输入是单位步骤输入）

它的稳态值= $\ lim_ {s \ lightarrow 0} \ sr（s）= s \ frac {1} {s}$ = 1。

同样，误差信号可以计算为:

$\{方程*}开始E (s) = \压裂{R (s)} {1 + G (s) H (s)} = \压裂{s + 4} {s (s + 8)} \{方程*}结束$

误差信号(即稳态误差)的稳态值为:

$\ begin {arequation *} \ lim_ {s \ lightarrow 0} se（s）= s \ frac {s + 4} {s（s + 8）} = \ frac {1} {2} \ neat {arearation *}$

此外，从图4可以看出，输入和输出之间的差异为0.5。因此，稳态误差为0.5。

计算稳态误差的另一种方法涉及查找错误常量，如下所示：

计算位置误差系数K_P.= $\lim_{s \右箭头0}G(s)H(s)$ ，你会发现k_P.= 1，e_SS.= $\压裂{1}{1 + Kp}$ ．你会发现相同的答案。

如果输入是一个步骤输入，例如 $R (s) = \压裂{3}{年代}$ （这是一个步进输入，但不是单位步骤输入），然后稳态误差是e_SS.= $\压裂{3}{1 + Kp}$

如果输入是单位斜坡输入，则计算，速度误差系数k_V.= $\ lim_ {s \ lightarrow 0} s g（s）$ e_SS.= $\ frac {1} {kv}$

若输入为单位抛物线输入，则计算，加速度误差系数Ka= $\lim_{s \右箭头0}s^2G(s)H(s)$ e_SS.= $\压裂{1}{Ka}$ ．

随着误差常量k的分析_P.K_V.和K_一种，您可以了解稳态错误如何取决于输入。

PI控制器与稳态误差

一种比例积分控制器(即比例控制器加上积分控制器)减小了稳态误差(e_SS.)，但对稳定性有负面影响。

PI控制器具有降低系统稳态误差的优点，同时具有降低系统稳定性的缺点。

PI控制器降低了稳定性。这意味着阻尼减小;PI控制器增加了峰值超调量和沉降时间;左侧特征方程的根(闭环传递函数的极点)将更接近虚轴。由于PI控制器的存在，系统阶次增大，稳定性降低。

考虑两个特征方程，一个是s^3.+ s²+ 3s + 20 = 0，另一个是s²+ 3s + 20 = 0。只需观察，我们可以告诉您与第一个等式相关的系统与第二方程相比具有较低的稳定性。您可以通过查找等式的根来验证它。因此，您可以理解高阶特性方程具有较低的稳定性。

现在，我们将在系统-1(图-3)中添加一个PI控制器(比例积分控制器)，并检查结果。在系统-1中插入PI控制器后，各稳态值如图-5所示，可以看出输出与参考输入完全相等。这是PI控制器的优点，它使稳态误差最小化，使输出试图跟随参考输入。

PI控制器的传递函数可计算为 $Kp + \压裂{Ki}{年代}$ 或者 $\压裂{Kps + Ki}{}。$ 一个问题可以询问，如果任何传输函数的输入为零，则其输出应为零。因此，在当前情况下输入到PI控制器为零，但PI控制器的输出是有限值（即1）。这种解释在任何控制系统书中都没有给出，因此我们将在此解释：

（1）稳态误差并不完全零，它趋于为零，类似地's'不等于零，它趋于为零，所以让任何实例稳定状态错误是2X10.³，同时' s '(特别是PI控制器分母中的' s ')也等于2X10.³因此，PI控制器的输出为'1'。

让我们考虑另一种控制系统，如图6所示：

在这种情况下，我们可以说，在任何情况下，假设稳态误差是2X10.³，同时' s '等于4×10-3;因此PI控制器的输出是' 0.5 '。这意味着“ess”和“s”都趋于零，但它们的比值是一个有限值。

在控制系统的书籍中，你永远不会发现s=0或t=∞;你总会发现
$S \右箭头0,t\右箭头0。$

(2)第二种解释是稳态误差为零，' s '在稳态时也是零。PI控制器传递函数为 $\ frac {kps + ki} {s}$ ．在数学书中，你会发现 $\压裂{0}{0}$ 未定义，因此它可以是任何有限值（参见图-7）。

（3）第三种解释是， $\压裂{1}{年代}$ 是一个集成商。输入为零，零集成未定义。因此PI控制器的输出可以是任何有限值。

开环控制系统与闭环控制系统的一个基本区别

参考上述说明，我们将解释开环控制系统和闭环控制系统的一个基本差异。开环控制系统和闭环控制系统的差异，您可以在任何控制系统中找到*，但这里给出了与上述解释相关的一个基本差异，我们希望肯定会对读者有用。

开环控制系统可以表示为:

闭环控制系统(反馈控制系统)可以表示为:

植株的传递函数是固定的(植株的传递函数可以因环境变化、干扰等而自动改变)。在我们所有的讨论中，我们假设H(s)=1;一个算子可以控制控制器的传递函数(即控制器的参数，使K_P.K_D.K_一世)等。

控制器可以是比例控制器（P控制器），PI控制器，PD控制器，PID控制器、模糊逻辑控制器等。控制器有两个目标(i)保持稳定性，即阻尼应在0.7-0.9左右，峰值超调和稳定时间应较低(ii)稳态误差应最小(为零)。

但是如果我们试图增加阻尼，那么稳态误差可能会增加。因此，控制器的设计应该使(稳定误差和稳态误差)都在控制范围内。控制器的优化设计是一个广泛的研究课题。

PI控制器减小了稳态误差(e_SS.)，但对稳定性有负面影响。

现在，我们将解释开环控制系统和闭环控制系统的一个基本区别，这与上面的解释有关。

考虑图10;它是一个开环控制系统。

设输入为单位阶跃输入。因此，输入的稳态值是1。可以计算出输出的稳态值为“2”。假设由于任何原因，设备的传递函数[G(s)]发生了变化，对输入和输出的影响是什么?答案是，植物的输入不会改变，植物的输出会改变。

现在看看图11和12

两者都是闭环控制系统．在图11中，假设由于任何原因，工厂的传递函数发生了变化，对输入和输出的影响是什么？在这种情况下，对工厂的输入将改变，植物的输出将保持不变。工厂的输出试图遵循参考输入。

图-12显示了新的条件，其中工厂参数改变。您可以看到工厂输入从0.5更改为0.476，而输出不会更改。在输入到PI控制器的两个情况下，PI控制器的规格相同，但PI控制器的输出不同。

所以，你们可以理解，在开环控制系统中被控装置的输出改变，而在闭环控制系统中被控装置的输入改变。

在控制系统的相关书籍中，可以找到以下语句:

“在植物传递函数的参数变化的情况下，与开环控制系统相比，闭环控制系统比较敏感”（即闭环控制系统输出的变化与开环控制系统相比较少）。

我们希望上述陈述可能更清楚本文中给出的例子。

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*亲爱的电气mabetx官网4U读者，请注意本文的目的不是重现本书中已有的主题;但我们的目标是以简单的语言向控制工程提供各种复杂的主题，具有数值例子。我们希望本文对您有所帮助了解稳态错误和PI控制器的各种复杂性。

稳态误差:它是什么?(稳态增益、值及公式)

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稳态错误示例

单位阶跃输入的稳态错误

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