拉普拉斯变换是一种解微分方程的技巧。首先将时域形式的微分方程转化为频域形式的代数方程。在频域求解代数方程后，将其转化为时域形式，得到微分方程的最终解。换句话说，拉普拉斯变换只不过是解微分方程的一种捷径。
在本文中，我们将讨论拉普拉斯变换以及它们如何被用于解微分方程。它们还提供了一种为输入-输出系统形成传递函数的方法，但这里不讨论。它们使用方框图等为控制工程提供基本的构建块。
很多类型的变换已经存在了，但是拉普拉斯变换和傅里叶变换都是最有名的。拉普拉斯变换通常用来将微分方程简化为简单的、可解的代数问题。即使代数变得有点复杂，它仍然比解微分方程容易。
拉普拉斯变换表
总有一个表格可供工程师使用，其中包含了拉普拉斯变换的信息。的一个例子拉普拉斯变换表如下所述。我们将从下表中了解各种常见函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的定义
学习拉普拉斯变换的时候，不仅要理解表，还要理解公式。
为了理解拉普拉斯变换公式首先让f(t)是t的函数，t≥0时
那么f(t) f(s)的拉普拉斯变换可以定义为
只要这个积分存在。其中拉普拉斯算子s =σ+ jω;是实数或复数j =√(-1)
拉普拉斯变换方法的缺点
拉普拉斯变换只能用于求解复杂的微分方程，而且像所有伟大的方法一样，它也有一个缺点，它可能看起来不那么大。也就是说，你只能用这个方法解已知常数的微分方程。如果你有一个没有已知常数的方程，那么这个方法是没有用的，你必须找到另一个方法。
拉普拉斯变换的历史
数学中的变换是指一个函数到另一个可能不在同一域中的函数之间的转换。变换方法在一些不能直接解决的问题中得到了应用。这个变换是以法国数学家和著名天文学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯的名字命名的。
他对概率论的加法也进行了类似的变换。它在二战后开始流行。这种变形术是由英国电气工程师奥利弗·希维赛德发明的。其他著名的科学家，如Niels Abel, Mathias Lerch和Thomas Bromwich在19世纪使用过这个词。
拉普拉斯变换的完整历史可以追溯到过去，更确切地说，是1744年。当时另一位伟大的数学家莱昂哈德·欧拉正在研究其他类型的积分。然而欧拉并没有走得太远，而是离开了它。欧拉的崇拜者约瑟夫·拉格朗日;对欧拉的工作作了一些修改，并做了进一步的工作。38年后，拉格朗日的工作引起了拉普拉斯的注意，也就是1782年，他继续在欧拉没有完成的地方继续下去。1785年拉普拉斯做出了天才的一笔彻底改变了我们解微分方程的方式。直到1809年，他才开始研究拉普拉斯变换的真正威力，他开始把无穷大作为一个积分条件。
拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换是控制系统工程的重要组成部分。为了研究或分析一个控制系统，我们必须对不同的函数(时间函数)进行拉普拉斯变换。拉普拉斯逆变换也是从拉普拉斯形式求出函数f(t)的一个重要工具。拉普拉斯逆变换和拉普拉斯逆变换在分析动态控制系统时都具有一定的性质。拉普拉斯变换对于线性系统有几个性质。不同的属性是:
线性，微分，积分，乘法，频移，时间变换，时间变换，卷积，共轭，周期函数。关于控制系统有两个非常重要的定理。这些都是:
拉普拉斯变换是对很多函数进行的，它们是脉冲，单位脉冲，阶跃，单位阶跃，移位单位阶跃，斜坡，指数衰减，正弦，余弦，双曲正弦，双曲余弦，自然对数，贝塞尔函数。但应用拉普拉斯变换的最大优点是通过将其转化为代数方程来求解高阶微分方程。
要做时间函数的拉普拉斯变换需要遵循一些步骤。为了将给定的时间函数f(t)转换成相应的拉普拉斯变换，我们必须遵循以下步骤:
- 首先将f(t)乘以e-， s是一个复数(s =σ+ jω)。
- 对这个乘积w.r.t积分极限为0和∞。这个积分得到f(t)的拉普拉斯变换，用f(s)表示。
时间函数f(t)由拉普拉斯变换通过拉普拉斯逆变换得到，记作£1
拉普拉斯变换属性
拉普拉斯变换的主要性质可以概括为:
线性:让C1C2是常数。f(t) g(t)是时间t的函数
首先将定理:
尺度性质的变化:
分化:
集成:
时间变化:
如果L{f(t)} = f(s)，则f(t)经过时间延迟后的拉普拉斯变换，t等于f(t)的拉普拉斯变换与e的乘积-这是
式中，u(t-T)为单位阶跃函数。
产品:
如果L{f(t)}= f(s)，则两个函数f1(t)和f2(t)是
终值定理:
该定理适用于反馈控制系统的分析和设计，因为拉普拉斯变换在初始条件下给出了解
初始值定理:
让我们检查一个简单函数f(t) = e的拉普拉斯变换方法αt为了更好地理解这件事。
比较上面的解，我们可以写:
同理，让α= 0，我们得到，
同样地，通过输入α= jω，我们得到，
因此,
让我们检查另一个拉普拉斯变换的例子函数的方法
e的拉普拉斯变换形式t是,
这个拉普拉斯形式可以写成
根据幂级数的定义，
拉普拉斯变换的例子
用下列方法解方程拉普拉斯变换,
利用上表，方程可以转化为拉普拉斯形式:
利用题目中给出的数据可以简化拉普拉斯形式。
除以(s2+ 3s + 2)给予
这个可以用部分分式来解决，这比用它的前一种形式更容易。首先，对分母进行因式分解。
交叉相乘给:
接下来需要找到系数A和B
代入方程:
然后利用上面提供的表格，可以把那个方程转换回标准形式。
自己试试的例子
计算并写出下面的拉普拉斯逆变换，建议在线找到一个有拉普拉斯变换的表:
解决方案:
让我们再深入研究一些拉普拉斯变换的例子
1)式中，F(s)是时域函数F(t)的拉普拉斯形式。求f(t)的过期时间。
解决方案
F(s)的拉普拉斯逆变换是
2)求的拉普拉斯逆变换函数
解决方案
现在,
因此,
3)解微分方程
解决方案
我们知道，拉普拉斯变换
4)解微分方程，
解决方案
我们知道，
5)对于下面的电路，利用拉普拉斯变换技术计算电容的初始充电电流。
解决方案
上图可以用拉普拉斯形式重画，
现在，初始充电电流，
6)解决电路通过对最终稳态电流的拉普拉斯变换
解决方案
对上述电路可进行分析基尔霍夫电压定律然后我们得到
稳态电流的最终值为
一个系统由这个关系来表示
式中，R(s)是单位阶跃函数的拉普拉斯形式。求x(t)在t→∞时的值。
由于R(s)是单位阶跃函数的拉普拉斯形式，可以写成
解决方案
8)求f(t”(t)和f”(t)对于时域函数f(t)函数的拉普拉斯变换形式为
通过应用初值定理，我们得到，
应用初值定理，我们得到，
f(t)的拉普拉斯变换由，
利用终值定理和传统求终值的方法求方程的终值。
解决方案
由此证明了这两种方法的函数最终值是相同的。
10)求函数的拉普拉斯逆变换，
解决方案
F(s)可以写成，
求的拉普拉斯逆变换
解决方案
F(s)可以写成，
求的拉普拉斯逆变换
解决方案
F(s)可以写成，
13)用拉普拉斯变换的形式表示微分方程
解决方案
14)用拉普拉斯变换的形式表示微分方程
解决方案
在现实生活中拉普拉斯变换用在哪里?
的拉普拉斯变换是由勒希消去定律导出的。在拉普拉斯变换方法中，将时域的函数变换为频域的拉普拉斯函数。这个拉普拉斯函数将以代数方程的形式出现，很容易求解。解可以通过拉普拉斯逆变换再次变换回时域。
如上所述，这种转换最常用于控制系统。利用这些变换对通风、供暖、空调等系统进行了研究和分析。这些系统被用于每一个单一的现代建筑和建筑。
拉普拉斯变换对于过程控制也很重要。它有助于变量分析，当改变时产生所需的结果。这方面的一个例子可以在有关热的实验中找到。
除了这两个例子，拉普拉斯变换在很多工程应用中都有应用，是一种非常有用的方法。它在电子工程和机械工程中都很有用。
无论是电、机、热、液等动力控制系统，其控制动作都可以用微分方程来表示。根据系统的物理规律，导出了系统微分方程。为了便于求解描述控制系统的微分方程，将该方程转化为代数形式。这个转换是在拉普拉斯变换方法，即将时域微分方程转化为频域代数方程。
一个有趣的类比可能有助于理解拉普拉斯。假设你遇到一首你不懂的英文诗。然而，你有一个西班牙朋友，他很擅长理解这些诗。所以你把这首诗翻译成西班牙语然后寄给他，然后他反过来用西班牙语解释这首诗然后寄给你。你理解了西班牙语的解释，然后就能把这首诗的意思转换回英语，从而理解这首英语诗。
